La función logaritmo natural y la función exponencial

in #castellano7 years ago (edited)

titulo.jpg

En el post anterior definí la función logaritmo natural de x denotado Lnx, donde x > 0; ahora voy a explicar su gráfica y su relación con la función exponencial.
Recordemos que esta función se define como un área:

la integral del área del logaritmo natural.jpg

Si aplicamos derivada con respecto a x en ambos lados de la igualdad se obtiene:
lne2.jpg

Como la primera derivada es positiva, entonces la función es creciente en todo su dominio.
Calculemos ahora la segunda derivada de esa función con respecto a x,
lne3.jpg

La segunda derivada es negativa, esto significa que la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio.
Cuando x=1 el logaritmo neperiano es igual a 0.
Por lo tanto la gráfica resulta según se muestra en la imagen.
lne4.jpg

Si queremos calcular el logaritmo neperiano de cualquier número usamos la calculadora. Por ejemplo, es fácil comprobar que Ln1=0.

Relación de la función logaritmo natural con la función exponencial.

Para estudiar esta relación, tracemos la recta y=x en la gráfica anterior, observese que ésta recta reproduce otra gráfica por reflexión de la gráfica de la función logaritmo neperiano.
Esa gráfica señalada en rojo corresponde a la función exponencial f(x)= ex , pues resulta que la función exponencial es la inversa de la función logaritmo neperiano y viceversa.
Esto es

lne5.jpg

Esto se interpreta de la siguiente manera:

lne6.jpg

lne7.jpg

Para calcular ex se usa la calculadora, ambas funciones están ubicadas en la misma tecla, la función logaritmo neperiano se encuentra visible, y al fondo se encuentra la función exponencial. Para acceder a la función exponencial ex se teclea primero la opción Swift (esto indica la inversa) luego la tecla Ln y finalmente el valor de x.
Ejemplo: e2=7,389056099… y si usted a este resultado lo teclea directamente en Ln, resultado le dará 2.

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¿Y la función exponencial no es un área bajo la curva de otra función?

La función logaritmo natural se define un área bajo la curva y=1/t limitada siempre por las rectas t=1, t=x y el eje de las abscisas donde x>o. Por ejemplo cuando te digo Ln 1=0 es por que el área es nula ya que, como te dije t=1 es una referencia constante y si tomamos t=1 entonces el área se hace nula, es igual a 0. La gráfica que te doy del área corresponde entonces a la definición del logaritmo natural. Aparte de su definición, la función Ln tiene su propia gráfica y su reflexión en el plano es la gráfica de la función exponencial; porque una es la inversa de otra y viceversa.
En el próximo post te explicaré lo que es la función exponencial.

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