[수학] 제곱근의 근삿값 구하기 – 바빌로니아 방법

안녕하세요! ryanhan입니다.
오늘은 제곱근의 근삿값을 구하는 방법을 소개해보려고 합니다.
루트2라고 하면, 제곱해서 2가 되는 수입니다.
중학교 수학에서 등장하여, 어디든지 사용됩니다.

그런데, 루트2라는 수는 잘 와 닿지 않습니다.
중학교 제곱근 파트에서 가장 기본 문제가 대소비교인데,
루트2가 대충 어느 정도 숫자인지 그 근삿값을 아는 것은
제곱근의 이해에 큰 도움이 될 것입니다.
그래서 오늘은 제곱근의 근삿값을 구해보겠습니다.

단순하게 가자. 제곱해봐

제곱근의 근삿값을 구하는 가장 단순한 방법은,
그냥 숫자를 점점 가깝게 추측해서 제곱해보는 것입니다.
예를 들어, 1X1=1이고, 1.5X1.5=2.25에서
1 < 루트 2 < 1.5 라는 것을 알 수 있습니다.

그리고, 1.4X1.4=1.96에서
1.4 < 루트2 < 1.5

1.41 X 1.41 = 1.9881 , 1.42X1.42=2.0164에서,
1.41 < 루트2 < 1.42임을 알 수 있습니다.

이 방법으로 점점 자세하게 구하다 보면,
A< 루트2 <B 인 상황에서
루트2와 (A+B)/2 의 대소비교를 통해
더욱 쉽게 구할 수 있다는 것을 알게 됩니다.

정말 유용한, 바빌로니아 방법

그런데, 제곱을 하다 보면 정말 머리가 아픕니다.
6자리 곱하기 6자리만 해보더라도 보통일이 아니죠.
바빌로니아 방법이라고 불리는
제곱근 근삿값을 구하는 방법은
‘제곱하는 과정’이 없습니다.

먼저 바빌로니아 방법을 소개하자면,

이런 점화식에 초항 x0을 아무렇게나 잡아도,
점화식에 대입할수록 루트2에 가까워지는 것입니다.
x0=1이라고 해보겠습니다.
그러면 x1=3/2,
x2=17/12=1.417이 나오게 됩니다.
간단한 계산으로 루트2의 근삿값을 구할 수 있습니다.