同 C.D.Lin 等四博士讨论堆叠法构造正交超立方设计问题（续2）

贺深泽 (Email：[email protected] )

3. 堆叠法构造 OLHD

3.1 Lin 的堆叠法导言

作者不论证OLHD 的可堆叠性，从定理 1 导出了两个堆叠法。这样操作得到的一定是 OLHD 不需要证明？是不是满足这一条件就一定能得到 OLHD？而且“ D_a and D_a themselves are not necessarily Latin hypercubes.” 我不敢相信。

例如，C=[(1.5,0.5,-0.5,-1.5)^T,(-1.5,0.5,1.5,-0.5)^T] 是 OLHD。在这个 OLHD 中堆叠上一个 0 向量，是不是另一个 OLHD ？尽管把 0 向量认定作正交向量符合数学规则。它是正交的，但不是OLHD。现在我们给 C 叠上一个 1^T 向量，其结果甚至不正交，更不是 OLHD。把1^T 向量认定作正交向量是作者的建议。

3.2 关于第一堆叠法

如果作者按照堆叠原理运作，我们本没有什么要讨论的。但是作者没有准确地说明堆叠法应该遵循的原理，而把第一堆叠法建立在结构式(2.1) 的张量积的基础上，即，在 (2.1) 的张量积模型中，遵循其在例 2 中使用的方法，强制定义“(1,1)^T” 是 Hadamard 矩阵， “(1/2,-1/2)^T” 是 OLHD。这就不能不质疑其理论基础的可靠性，适用模型有误，用张量积理论解释不了。此处不赘述，在本文附录中给出我的完整意见。

3.3 关于第二堆叠法

The second stacking method is more generally applicable and it chooses
S_a= {-(n_a-1)/2,-(n_a-3)/2,...,(n_a-3)/2,(n_a-1)/2} and

S_b= {-(n -1)/2,...,-(n_a+1)/2,(n_a+1)/2,...,(n - 1)/2}------(3.4), where n = n_a+ n_b. For this choice, D_a is an orthogonal Latin hypercube while D_b is not.

作者给出了 Proposition 2 （截图）。

作者的叙述表明，第二堆叠法的导出与式(2.1) 有关，实际上，两个堆叠法都与 (2.1) 式有关。作者用第二堆叠法作为其定理 2 的充分性命题的保证。(2.1) 与 Hadamard 矩阵或子阵紧密相关， Hadamard 矩阵或子阵的存在充分性并没有解决，怎么保证你的第二堆叠法解决定理 2 的能力。

图 5 中，左图为 (5×2) OLH 与 Lin (2008) 定义的 O₂ 堆叠四次的结果，右图为另一个 8×4 OLHD 与一个 8×4 正交设计堆叠四次的结果的点图。每堆叠一次，增加的点都排列在两条直线上。无限堆叠下去的结果是不难想象的。如果考虑到用张量积构造正交超立方存在的缺陷. 这样的矩阵不能算是 OLHD。定理 2 的充分性证明有效吗？第二堆叠法没有那么大的能力。

图 5. 第二堆叠法的结果非常近似于×-型分布

尽管存在这些问题，该文的两个堆叠法无疑是有意义的，只是但这些堆叠法不能从上述理论中获得理论根据和合法性。我们不得不作进一步的讨论（见本文附录）。

4. 关于Nearly orthogonal Latin hypercubes

什么是 Nearly orthogonal Latin hypercubes ? 作者在 Lin (2008) 中如是说：

Lin's Definition 2.1(Lin (2008)) A Latin hypercube is said to be orthogonal if all pairs of its columns have zero correlation (p.12)

Column-orthogonality is weaker than orthogonality because it does not require each column of D to be balanced (p.19).

这里的 balance 是什么？图 5 中的设计 balance 吗？我对于零相关设计与弱相关设计的定义请见《弱相关试验设计》一文。

一些年以来，有很多作者讨论了“Nearly orthogonal” 问题。他们都是讨论 Hedayat 定义的正交阵列的 Nearly orthogonal，而不定义零相关与弱相关这些概念。在拉丁阵列意义上，向量不定义数字特征，不给 Nearly orthogona 以数值特征是可以理解的。 Lin 等已经给自己的 OLHD 赋予了数值特征，定义了向量间的相关系数和正交性度量，也使用了零相关和弱相关概念，却不定义临界值。 nearly 的边界在哪里？除了正交的，就都是 “Nearly orthogonal” 的？完全相关的也是“Nearly orthogonal”的？

（未完待续）