Hola; saludos de paz y de bien. Aquí estamos en un nuevo encuentro. Espero y aspiro que tomes interés en lo que veremos para que continuemos con nuestro compartir de conocimientos en matemáticas... Adelante...!!
LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS. Estructuras matemáticas.
A partir de esta sesión desarrollaremos lo que se conoce como “cálculo proposicional”, el cual es un tópico en matemáticas que fusiona magistralmente el uso de los símbolos con la lógica matemática, además de presentar un tipo de “cálculo” que se apoya en los “valores lógicos” de proposiciones, es por ello que debemos conocer lo que es una “proposición”. Podemos indagar para confirmar que una proposición se refiere a una expresión que relaciona lógicamente a dos conceptos (pudiendo ser más) en donde se afirma o niega uno del otro, o que incluye o excluye uno respecto al otro. En matemáticas decimos que una “proposición” es una expresión de juicio o un enunciado declarativo en el cual tiene sentido decir que es verdadero o falso, pero no ambos casos simultáneamente. Ya con esto decimos que en el cálculo proposicional lo que en realidad interesa es la veracidad o falsedad de las proposiciones.
A continuación, te presentamos unos juicios que son proposiciones:
Dejamos que seas tú el que identifique la veracidad o falsedad de cada proposición.
Por otra parte, los siguientes enunciados no son proposiciones.
Ahora entra en juego la simbología; para representar las proposiciones emplearemos letras minúsculas, así, por ejemplo:
Teniendo en cuenta si una proposición es verdadera o falsa procedemos a asignarle el “valor lógico” (que simbolizaremos por VL) de acuerdo a la siguiente definición:
Si la proposición es falsa, entonces su “valor lógico” es cero (0).
Si la proposición es verdadera, entonces su “valor lógico” es uno (1).
Así, las proposiciones anteriores quedarían expresadas con su valor lógico como:
Es muy común en matemáticas encontrarnos con enunciados como estos:
x + 7 = 2 es número par
5 < n ≤ 10
x es un país africano.
De esta manera como son presentados no podemos asegurar si son verdaderos o falsos. Pero “sustituyendo” las letras o “variables” por una expresión determinada obtendremos proposiciones. Si en el primer caso sustituimos la "x" por -5, entonces queda -5+7=2 lo cual es verdadero, y si sustituimos la "x" por 9, entonces queda 9+7=2 lo cual es falso. Es obvio que en el segundo caso todos los números n que estén entre 5 y 10 (incluyendo al 10) hacen que el enunciado sea verdadero, y si n es menor que 5 o mayor que 10, hará que la proposición sea falsa. Mientras que en el último caso, si reemplazamos "x" por Nigeria, la proposición es verdadera y si "x" es Tailandia, la proposición es falsa. Estos tipos de enunciados permiten el surgimiento de las “Funciones Proposicionales” o “Proposiciones Abiertas”
De esta forma definimos como “función proposicional” a una función cuyas variables son proposiciones. Esto es, una afirmación expresada de manera que podría asumir los valores de verdad o de falsedad con la excepción de que existe alguna variable que no está definida y que por lo tanto no permite asignar un valor de verdad definido. Entonces una función proposicional debe tener especificado uno o más conjuntos, que se llaman “dominios” de donde se tomarán aquellos valores o atributos que se sustituirán en las variables correspondientes para formar las proposiciones. Los elementos del dominio que hacen a las proposiciones verdaderas se les llama “dominio de verdad”
Por último, veamos este “problema recreativo” tomado del libro “fundamentos de la matemática” de Jorge Sáenz y otros.
“Un explorador, prisionero por los caníbales, va a ser sacrificado en el templo de la diosa “verdad”. El prisionero tiene el privilegio de decidir entre ser asado o ser hervido. Para esto, el explorador debe decir una proposición. Si la proposición es verdadera, él será hervido y si es falsa, será asado. ¿Qué harán los caníbales si el explorador escoge como su proposición a la siguiente: “Yo seré asado”?
........ 0000 ........ 0000 .........
Sigo agradeciendo de todo corazón a Dios, a mi esposa, a mis hijos y a ti que me sigues acompañando, porque considero inconmensurable a mi corazón.
