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Integración: Hasta este momento hemos estado ocupados con el problema: dada una función, hallar su derivada (o diferencial). Muchas de las aplicaciones más importantes del cálculo llevan al problema inverso: dada la derivada de una función, encontrar la función. La función requerida es llamada una integral de la derivada dada, y al proceso de determinarla se le llama integración. La función dada es el integrando.
Si f es una función dada y F es una función cuya derivada es F , la relación entre ellas se expresa escribiendo:
=
Donde el símbolo 
, llamado el signo integral, indica que debemos realizar la operación de integración sobre 
, esto es, debemos hallar una función de la variable ¨x¨ cuya derivada sea 
o cuyo diferencial sea .
Por razones que aparecerán posteriormente, siempre escribiremos después del signo integral el diferencial preferiblemente a la derivada 
.
Para ilustrar con un ejemplo vamos a calcular 
Como la derivación reduce el exponente en 1, la integración debe incrementar el exponente en 1 (de manera, que al derivar nuestra respuesta, podamos regresar al exponente original). Así, nuestro primer intento de adivinar la respuesta podría ser x3. Pero 
presenta un factor 3 no deseado. Para corregir esto enmendamos nuestra primera adivinanza dividiendo entre 3. Ahora, 
=
, pero la adición de la constante que sea, a 
, no altera el diferencial. Luego,
=
_ (1)donde C es una constante arbitraria. La ecuación (1) es equivalente a
=
Es natural preguntarse si pueden haber otras funciones correctas, pero esencialmente diferentes para el segundo miembro de (1), o sea si hay funciones que pueden tener el diferencial y diferir de 
por algo que no sea una constante.
La respuesta, contenida en el siguiente teorema, es ¨NO¨.
TEOREMA: Dos funciones que tienen la misma derivada difieren tan solo en una constante.
Sean f(x) y g(x) las dos funciones, y escribamos: y=f(x)-g(x). Por hipótesis,
=
La taza de cambio de “y” con respecto a “x ” siempre es cero, luego “y ” es constante.
Queda claro ahora, que una función cuya derivada está dada, no resulta completamente determinada puesto que aparece una constante aditiva arbitraria, la constante de integración. Por esta razón la función 
se llama la integral indefinida de 
.
Las propiedades siguientes son fácilmente verificables por diferenciación.
(i) 
(ii) 
(iii) 
La fórmula (i) es meramente la definición de integral y la abreviaremos escribiendo simplemente 
La segunda fórmula muestra que si el integrando consiste de una suma de términos, cada término puede integrarse por separado.
La tercera fórmula dice que si el integrando contiene un factor constante, ese factor puede escribirse delante del signo integral. Como corolario, podemos introducir un factor constante en el integrando siempre y cuando escribamos su recíproco delante del signo integral. Pero, nunca es permisible introducir factores variables mediante esta regla, por la sencilla razón de que una respuesta obtenida de esta forma no puede ser posiblemente correcta.
En la fórmula, 
, reemplacemos n por n+1 quedando 
Dividiendo entre n +1 (como esto es imposible cuando n =-1 , tal valor debe ser excluido), y revirtiendo la ecuación nos queda,
Integrando, obtenemos la fórmula de potencia general para integración
siempre y cuando n no sea igual a -1Esta fórmula correctamente aplicada sirve para evaluar integrales similares a la del ejemplo previo descartando el método de ensayo y error empleado en aquel momento.
Pero aparte de meros errores algebraicos, casi siempre ocurre, especialmente al principio, que se interpreta la fórmula incorrectamente: de modo que será importante como siempre verificar nuestra respuesta mediante derivación.
Muchas integrales pueden calcularse mediante la introducción de una nueva variable de integración, digamos por ejemplo “u”, en lugar de la variable original “x”, estando conectadas las dos variables por alguna fórmula adecuada. El cambio de variable se presenta usualmente mediante una sustitución explícita:
,
Este proceso, llamado integración por sustitución, es de gran importancia y es bueno recalcar que no solamente “x”, sino el dx también, debe ser sustituido por su correspondiente adecuado en términos de la nueva variable.
Como regla a seguir, la naturaleza de la sustitución que ha de realizarse, es decir, la fórmula que conecta a “x” y “u”, debe determinarse por inspección del integrando dado. No pueden darse direcciones generales; la destreza en el uso de sustituciones se adquiere tan sólo con la práctica. En muchos casos, varias sustituciones distintas son posibles y cualquiera tendrá éxito.
Es todo por hoy, he tratado de hacerlo lo más sencillo posible para su fácil comprensión, tardo mucho en publicar porque hacer estas ecuaciones y subirlas me lleva mucho tiempo, aún así se que el esfuerzo vale la pena, ustedes me han demostrado que es así, antes de despedirme como siempre quiero recomendar las siguientes lecturas:
Juan Luis Corcobado Cartes y Javier Marijuán López. Matemáticas I C.O.U Opciones A y B.
Louis Leithold. El Cálculo 7ma Edidción.
Pepperdine University
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Muchas gracias, me parece excelente pero en lugar de recibir el SBD me gustaría que por favor me permita donar 1 STEEM a su causa, lo voy a transferir ahora mismo.!!
Saludos @APVK. Buen tutorial para iniciar con la exploración de esta temática.
Gracias, me alegro mucho que te haya gustado!
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Muchas gracias, eres muy generoso!!