Tópicos Especiales de Interpolación Polinomial
Siguiendo con el tema de Interpolación Polinomial que hemos venido desarrollando, vamos a tratar algunos tópicos especiales donde hablaremos de propiedades y algoritmos asociados con diferencias divididas, la noción de interpolación inversa y los conceptos básicos de la interpolación lineal bidimensional.
Diferencias Divididas
Consideremos una vez más el problema de interpolar cuatro puntos, es decir, n = 4, entonces podemos expresar a las constantes c1, c2, c3 y c4 en términos de xi y f:
Los coeficientes los conocemos como diferencias divididas. Para enfatizar la dependencia de las constantes ck en f y x1, x2, . . . ,xk, escribimos
y se refieren a esta cantidad como diferencia dividida de k - 1 orden. Así
es el polinomio interpolante de n puntos de f en x1, x2, . . . ,xn,
Ahora establecemos otra propiedad recursiva que relaciona las diferencias divididas de f en los subconjuntos designados de {x1, . . . , xn}. Supongamos que pL(x) y pR(x) son los interpolantes de f en {x1, . . . , xk - 1} y {x2, . . . , xk}, respectivamente. Es fácil verificar que si
entonces p(xi)=f(xi), i = 1:n. Así p(x) es el interpolante de f en {x1, . . . , xk} y entonces
Notemos que
el coeficiente de xk - 2 esta dado por f[x1, . . . , xk - 1]. Del mismo modo,
el coeficiente de xk - 2 esta dado por f[x2, . . . , xk]. Comparando los coeficientes de xk - 1 en (1) y (2) concluimos que
El desarrollo de diferencias divididas de orden superior a partir de diferencias divididas de orden inferior se ilustra a continuación
Esquema Diferencias Divididas.
Observemos que las diferencias divididas que buscamos están a lo largo del borde izquierdo del árbol. Al quitar el exceso, vemos que las diferencias divididas requeridas se pueden construir como se muestra a continuación
Esquema de cálculo eficiente de Diferencias Divididas.
Esto nos permite escribir la siguiente función en Octave de la siguiente manera:
Función para la Interpolación de Newton optimizada. Elaborado por @abdulmath con GNU Octave.
Un numéro de simplificaciones resultan si xi son igualmente espaciados. Asumimos que
donde h > 0 es el espaciado. De la ecuación (3) vemos que
Esto hace que la diferencia dividida sea un ajuste de las diferencias
que definimos de la siguiente manera
Por ejemplo,
| Orden 0 | Orden 1 | Orden 2 | Orden 3 | Orden 4 |
| f1 | ||||
| f2 | f2 - f1 | |||
| f3 | f3 - f2 | f3 -2f2+f1 | ||
| f4 | f4 - f3 | f4 -2f3+f2 | f4 -3f3+3f2-f1 | |
| f5 | f5 - f4 | f5 -2f4+f3 | f5 -3f4+3f3-f2 | f5 -4f4+6f3-4f2+f1 |
No es dificil mostrar que
La función incorporada
diff se puede usar para calcular diferencias. En particular, si y es un vector de n componentes, entoncesd = diff(y)y
d = y(2:n) - y(1:n-1)son equivalentes.
Un segundo argumento se puede usar para calcular las diferencias de orden superior. Por ejemplo,
d = diff(y,2)calcula las diferencias de segundo orden:
d = y(3:n) - 2*y(2:n-1) + y(1:n-2)
Interpolación Inversa
Supongamos que la función f(x) tiene una inversa en [a, b]. Esto significa que existe una función g(x) tal que f(g(x)) = x para todo x en [a, b]. Por lo tanto, si g(x) = x1/2 la función inversa es f(x) = x2 en [0, 1]. Si
y yi = f(xi), entonces el polinomio que interpola los datos (yi, xi), i = 1:n es una interpolador de la inversa de f. Así tenemos el siguiente script
Script para interpolar la inversa de f(x). Elaborado por @abdulmath, en GNU Octave
el mismo gráfica un interpolador de orden 5 de la función raíz cuadrada. Esto es lo que conocemos interpolación inversa, y una de sus aplicaciones importantes, es para hallar los ceros de una función.
Supongamos que f(x) es una función continua y monótona creciente o decreciente en [a, b]. Si f(a)f(b)<0 entonces f(x) tiene un cero en [a, b]. Si g(y) es un interpolador inverso, entonces g(0) podemos considerarlo como una aproximación de una raíz de la función.
Interpolación en 2 Dimensiones
Supongamos que (u, v) esta dentro del rectangulo
Supongamos que f(x, y) esta definida en R y que sus valores en las cuatro esquinas fac = f(a, c), fbc = f(b, c), fad = f(a, d), y fbd = f(b, d). Nuestro objetivo es usar un interpolador lineal para obtener una estimación de f(u, v). Supongamos que h esta en el intervalo [0, 1] con la propiedad que u = (1-h)a + hb. Resulta que
son estimaciones interpoladas linealmente de f(u, c) y f(u, d) respectivamente. En consecuencia, si s está en el intervalo [0, 1] con v = (1 - s)c + sd, entonces una segunda interpolación entre f1 y f2 da una estimación de f(u, v):
Juntando todo, vemos que
La siguiente figura nos muestra los puntos de interpolación.
Interpolación lineal en dos dimensiones.
Para probar estas ideas, escribimos una función que almacena en una matriz los valores de una función específica de dos variables:
Función de almacenamiento de los valores de f(x, y). Elaborado por @abdulmath con GNU Octave
En general, la función pasada como
feval puede tener un número arbitrario de argumentos. Si n son necesitados, entonces estos deben ser especificados e la llamada de la función feval. Para interpolar los valores en una matriz calculada por SetUp, es necesario "localizar" el punto en el cual la interpolación es requerida. Los cuatro valores relevantes de la matriz deben combinarse como se describió anteriormente.
Función de Interpolación Lineal en dos dimensiones
Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido acerca de la Interpolación Polinomial usando el entorno GNU Octave | 2ra Parte y ultima acerca de este tema. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y la programación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.
Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:
- Demidovich, B. P., and I. A. Maron. Computational Mathematics Mir, Moscow, 1976.
- Björck, Åke. Numerical methods in matrix computations. Vol. 59. Cham: Springer, 2015.
- Burden, Richard L., and J. Douglas Faires. Numerical analysis. Ninth Edition. Cengage Learning. 2011.
También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:
| Interpolación Polinomial usando el entorno GNU Octave - 1era Parte. | Interpolación Polinomial usando el entorno GNU Octave - 2da Parte. |
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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, GNU Octave, 
, GIMP e Inkscape.
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Imagen diseñada con GIMP y elaborada por @abdulmath.
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Muchas gracias por el apoyo a mi trabajo.
Normalmente usamos la extrapolación en la mayoría de las investigaciones científicas, pero también es importante conocer la función de interpolación lineal o en este caso polinomial. Buen trabajo mi estimado @abdulmath
Lo que comentas es muy cierto, la interpolación polinomial es un tema de importancia, pero que para algunos casos no es tan útil, dependiendo del caso de estudio. Agradecido por tu comentario y pasar a visitar mi blog. Saludos y un abrazo fraterno @iamphysical
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Hola @selenyta, muy agradecido por tus lindos y apreciados comentarios. Pues la física y la matemática son dos ciencias hermanas que se retroalimentan constantemente. Saludos y un abrazo.