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Con la geometría analítica realizamos el extraordinario nexo con la cinemática ambas ejemplares ramas de nuestra ciencia, la primera reforzada magistralmente con el lenguaje abstracto del álgebra y la segunda lleva a cabo el estudio del fenómeno más impactante para la humanidad como lo es el movimiento, y en donde comprobamos que indudablemente se fortalece con cada una de las formas y figuras diseñadas por la geometría y su carácter analítico.
Con el presente artículo nos encontramos a un paso del cierre de este magistral vínculo y no podíamos dejar a un lado a la encantadora y brillante curva espiral y el movimiento que la misma genera, su forma la encontramos en innumerables facetas de la humanidad así como en la naturaleza misma, y dicha figura se ha convertido en importante trayectoria para cualquier partícula, cuerpo u objeto que se encuentran en el universo desarrollando el reconocido movimiento espiral.
Las espirales más allá de sus resaltantes características matemáticas como cinemáticas las utilizamos en nuestro común lenguaje cuando nos referimos a situaciones periódicas pero cambiantes, por nombrar solo un ejemplo de utilidad cotidiana, llevándonos a asumir que dicha curva al igual que muchas otras conviven con todos nosotros y por tanto constituye un elemento primordial para la humanidad, en donde la ciencia ha incrementado los conocimiento que sobre la misma se tienen.
A través de la impresionante astrofísica, ciencia que estudia nuestro universo desde una visión de la física y la astronomía permitiéndonos conocer sobre los cometas, las galaxias y por supuestos sobre los planetas, de esta forma nos hemos nutrido constantemente sobre el comportamiento de nuestro majestuoso y complejo universo en relación a sus astros, por lo tanto esta área de la ciencia nos muestras esplendidos estudios realizados sobre las galaxias, en donde encontramos a la nuestra, la vía láctea, y la misma representa una galaxia espiral en movimiento.
Si nos detuviéramos a mencionar cada una de las conexiones de estas figuras espirales con nosotros nos encontraríamos con una extensa lista de hechos o de actividades que nos han unido con esta notable curva a través de nuestra historia, pero resaltaremos solo algunas para que nuestro ángulo de desviación sea casi imperceptible en cuanto a nuestro propósito central, el movimiento y sus distintas trayectorias a través de formas geométricas, por lo tanto las espirales han valido para simbolizar la eternidad, los periodos solares, de igual forma florecen en la pintura, escultura, y observándolas más allá de su valor simbólico las espirales tienen o cuentan con un importante espacio en diseños realizados por nuestra naturaleza, las cochas de los caracoles, el crecimiento de innumerables plantas y flores, en especial los girasoles y piñas, la lengua de los camaleones, la estructura primordial para la vida, es decir, las cadenas de ADN, son algunos de numerosos ejemplos cuyos diseños tienen las huellas de nuestra madre naturaleza.
Pero tomemos de nuevo nuestro rumbo y sigamos describiendo estas curvas desde el punto de vista geométrico y su impacto en el fenómeno del movimiento, para ello debemos recordar algo de su historia y las mismas son incluidas en el mundo geométrico gracias a Arquímedes de Siracusa, muchos piensan que el gran interés por desarrollar estas curvas está relacionada con la búsqueda de dos famosos problemas de la antigüedad, como fueron la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, dicho interés antes planteado se puede evidenciar cuando Arquímedes logró demostrar interesantes propiedades de esta curva espiral las cuales implementó para poder resolver los históricos problemas ya expuestos.
Después de los sorprendentes aportes de Arquímedes la historia nos lleva hacia el gran René Descartes, sí ese magnífico personaje filósofo y matemático Francés considerado el padre de nuestra geometría analítica, con su espiral logarítmica permitió incrementar el mundo de las espirales, luego profundizaron en esta curva logarítmica importantes personajes como Evangelista Torricelli matemático y físico italiano además del matemático Suizo Jacques Bernoulli quien logró ahondar en las sorprendentes propiedades de esta curva, Bernoulli descubre la espiral parabólica (caso particular de la espiral de Arquímedes) inspirando de esta forma a la creación de otras espirales como la hiperbólica, la clotoide o espiral de Cornu, en la sección dedicada a la geometría analítica en el movimiento espiral se ampliará sobre el lugar geométrico de algunas de estas curvas espirales.
Las propiedades cinemáticas de estas curvas fueron reflejadas por el propio Arquímedes ya que el mismo nos invitaba a imaginarnos una determinada línea la cual gira a velocidad constante en torno a uno de sus extremos, y esta línea se mantendría siempre sobre un mismo plano, y que además con un punto el cual se movería a través o a lo largo de dicha línea con una velocidad lineal (rectilínea) constante y por tanto este punto es el que describiría el lugar geométrico de su espiral, tal descripción inspirada en Arquímedes convierte a esta figura en una curva mecánica y además en la primera curva mecánica de nuestra historia, por lo tanto para su definición y en consecuencia su creación debemos recurrir al esencial fenómeno del movimiento como lo moldeó Arquímedes con sus especificaciones o variables cinemáticas como la velocidad constante o uniforme tanto angular como rectilíneo implementados tanto por la recta y punto sobre la misma respectivamente.
Dentro de la familia de las espirales nos encontramos a la curva denominada clotoide (espiral de Cornu) utilizada en la construcción o diseño de vías de comunicaciones por ser considerada una excelente curva de transición al momento de combinar autopistas o vías de ferrocarriles, ya que cualquier móvil cuando recorre esta curva con una velocidad constante tendrá también una aceleración angular constante.
Nuestra magnifica geometría analítica con sus formas y figuras nos demuestra que el mundo que nos rodea es posible entenderlo de una manera mucho más sencilla y práctica, y lo hemos demostrado en cada uno de los análisis realizados sobre el fenómeno más importante para la humanidad como lo es el movimiento, y de esta rama de la ciencia dicho fenómeno a extraído sus trayectorias a través de los lugares geométricos de aquellos espacios transitados.
En esta ocasión se presentan las espirales como lugares geométricos implementados por el movimiento espiral, por lo que durante toda su historia ha sido considerada una curva estrechamente relacionada con el movimiento cuya característica la ampliaremos en la sección dedicada al movimiento espiral, ahora bien la primera espiral que llegó a la geometría fue la del gran Arquímedes por lo que la misma lleva su nombre, sin embargo, con el pasar del tiempo de acuerdo a la profundización de sus propiedades geométricas esta primera curva espiral ha tenido otras denominaciones entre las cuales podemos mencionar, espiral uniforme, espiral aritmética pero siempre haciendo mención a su gran creador Arquímedes.
Esta histórica curva tiene como lugar geométrico el descrito por Arquímedes, el cual lo define magistralmente al invitarnos a imaginar una determinada línea recta la cual gira con una velocidad constante con relación a uno de sus extremos y en cuya recta aparece un punto moviéndose también a velocidad constante a todo lo largo de la respectiva recta, manteniéndose ambos ( recta y punto) siempre en un mismo plano, describiendo de esta forma dicho punto a la curva espiral uniforme, aritmética o de Arquímedes, como podemos observar en la siguiente figura 1.
En la figura 1 podemos notar como se genera la espiral de Arquímedes, en donde el ancho de sus espiras será siempre la misma de allí el nombre de espiral uniforme, pero también es aquella que representa un método para la resolución del problema planteado sobre la trisección de un ángulo dado como veremos a continuación en la figura 2:
A pesar que con la anterior figura 2 nos alejamos un poco de nuestro objetivo principal el de relacionar figuras y movimientos, era una tentación difícil de hacer a un lado debido a las impresionantes características matemáticas de esta curva, observando que a través de la espiral de Arquímedes logramos trisecar el ángulo AOB dado, dividiendo el segmento OP en tres porciones semejantes, en donde los puntos R y S originan la trisección de dicho ángulo, sin olvidar que también en la figura 1 notamos sus características cinemáticas, por lo tanto antes de retomar nuestro sendero principal podemos decir que el diseño de esta figura permitió abrir el camino para la creación de innumerables curvas más allá del uso de la regla y el compás.
Un nuevo camino se había abierto, el de la espiral, y el cual sería reforzado con la llegada de otros tipos de espirales conformando de esta forma la espléndida familia de espirales, encontrándonos con la espiral logarítmica o de Bernoulli, espiral hiperbólica o recíproca, espiral de Cornu o clotoide, la espiral de Fermat o parabólica, son las espirales más resaltantes entre dicha familia, pero de estas últimas la espiral logarítmica marca la diferencia sobre el resto por algo Bernoulli la llamó “Spira mirabilis”, es decir, la espiral maravillosa.
La espiral logarítmica, equiangular o de crecimiento es la que más frecuenta en la naturaleza y por tanto tiene gran vinculación con cualquier forma de movilidad, esta espiral se caracteriza por tener diferencia en la distancias entre sus espiras o vueltas ya que las mismas van aumentando a medida que gira y formando ángulos constantes con los respectivos radios vectores los cuales parten del centro de dicho giro, y en donde la longitud al centro de giro va aumentando de manera exponencial con dicho ángulo de giro como podemos observar en la siguiente figura 3.
Esta impresionante figura la observamos desde el lugar más lejano de nuestro universo, como es el caso de las galaxias espirales en movimientos, como es el caso de nuestra galaxia, la Vía Láctea, también las observamos en las formas de los ciclones tropicales como los terribles huracanes y los mismos siguen una patrón muy semejante a la de una espiral logarítmica como podemos observar en la siguiente figura 4 de dominio público extraída de pixabay.com mostrándonos al famoso huracán Catrina cuya fuente se colocará al final de este artículo.
Muchos fenómenos naturales y actividades humanas guardan impresionantes relaciones con esta curva, en el área de la mecánica de los suelos nos encontramos que la superficie de falla está representada por los puntos de aquel lugar geométrico en donde la superficie terrestre o suelo se fractura o rompe, originándose un desplazamiento ya que esta puede estar sometido a cargas mayores de las que puede tolerar, por tanto en muchos casos podemos decir que estas superficies de fallas serán semejantes o muy aproximadas a la curva espiral logarítmica.
Movimiento Espiral
Como no relacionar al lugar geométrico de una espiral como la trayectoria de un movimiento, está figura considerada como la primera curva mecánica de nuestra historia debido a la descripción expuesta por el propio Arquímedes y en donde deberíamos recurrir al movimiento para su definición tal y como ya hemos expresado en las anteriores secciones, sin embargo, para que un movimiento espiral se desarrolle una determinada partícula, cuerpo u objeto debe transitar por el lugar geométrico de la misma, y rápidamente esto nos lleva a recordar la trayectoria recorrida por una delgada aguja sobre un disco de vinilo cuyos surcos igualmente espaciados formaban una espiral de Arquímedes y esto permitían un mayor tiempo de grabación para esa época, resaltando que tanto la forma del disco como su movimiento eran circulares pero el movimiento espiral se llevaba a cabo en el interior del mismo cuando la aguja del tocadiscos recorría todo el espacio o lugar geométrico de la espiral incrustada o dibujada sobre dicho disco, por lo tanto se originaba una combinación de movimientos como el circular y el espiral al mismo tiempo, sin tomar en cuenta el ondulatorio originado por la ondas sonoras al originarse el sonido de la música, así es el movimiento, un complejo pero espectacular fenómeno.
Pero si nos trasladamos a un lugar de diversión como un parque acuático cualquiera de nosotros podría recorrer esta figura a través de un tobogán de forma espiral bien sea la de Arquímedes o uniforme como la logarítmica, o al transitar por una escalera con forma de espiral, de igual forma podemos notar este movimiento en cualquier partícula de algún objeto rectilíneo flexible cuando los recojemos en forma de espiral tal y como lo hace una modista con su cinta métrica, o una fabrica de papel sanitario, o cualquiera de nosotros bien sea con una manguera, cables, entre otras cosas más, lo cierto es que por donde miremos podemos conseguirnos con este tipo de movimiento ya sea desarrollados por nuestros cuerpos como por objetos o partículas que los componen.
La curva espiral logarítmica descrita inicialmente por Descartes como el camino o trayectoria seguida por un cuerpo al caer sobre la superficie de un cuerpo esférico en movimiento, siguiendo su relación con el movimiento podemos expresar, que los halcones al acercarse a sus presas desde las alturas lo hacen describiendo esta curva logarítmica, de igual forma se piensa de los insectos voladores al aproximarse a una fuente de luz ya que los mismos acostumbran a volar utilizando un ángulo constante debido que al volar de esa manera sería fácilmente como seguir una línea recta.
Dentro de esta familia de espirales tenemos a la espiral de Cornu o clotoide, el radio de curvatura de esta curva varía progresivamente de forma inversamente proporcional a la longitud o distancia transitada sobre dicha curva, la propiedad de curvatura de la clotoide la podemos encontrar en cualquiera de sus puntos constitutivos, ya que desde cualquiera de ellos la distancia medida desde el origen es proporcional a lo largo de toda esta curva, esta importante característica la convierte como una excelente curva de transición al momento de estructurar una autopista o vías de ferrocarriles, ya que un determinado móvil el cual transite esta curva con una velocidad constante experimentará una aceleración angular también constante.
De acuerdo a lo antes expuesto hace o permite que la clotoide sea muy utilizada en el diseño tanto de carreteras pero esencialmente de vías ferroviarias, ya que dicha curva espiral evitará la irregularidad en cuanto a la aceleración centrífuga de cualquier móvil o vehículo al pasar de un trayecto a otro, como por ejemplo una trayectoria recta a una circular o viceversa, ya que la misma permite una transición gradual con respecto al radio de curvatura de su trayectoria con la finalidad de amortiguar el encuentro entre dos trayectorias de distintas formas geométricas como las señaladas con anterioridad.
Si ahora nos trasladamos al majestuoso campo de la astrofísica nos conseguiremos con impresionantes pero devastadores fenómenos de movilidad como los ciclones tropicales entre los cuales se encuentran los huracanes y los mismos adquieren forma de una espiral logarítmica de movimiento exponencial, pero si alzáramos nuestra mirada en lo más alto de nuestro universo pudiéramos ser testigo de los millones de galaxia existente en nuestro espacio, en donde nuestro sistema solar lo encontraríamos en uno de los brazos de nuestra galaxia denominada La Vía Láctea, y la misma representa la forma de un ciclón aplanado el cual se mueve o gira en espiral en torno a su centro.
Estudios astronómicos revelan que poderla observar es muy difícil ya que nuestro sistema solar se encuentra cerca del borde de este ciclón o remolino por tanto se le atribuye esta forma debido a la galaxia más próxima a la nuestra que si es posible observarla y cuyo nombre es Andrómeda, lo cierto es que en nuestro infinito universo existen galaxias de forma de remolino o ciclón aplanado que giran en espiral en torno a su respectivo centro.
Así de impactante es el movimiento espiral y su trayectoria la cual es constituida por el lugar geométrico de una curva espiral de ahí el nombre de dicho fenómeno de movilidad, desde nuestra corteza terrestre y todo el espacio que la envuelve hasta las galaxias del universo donde se encuentra la nuestra, Vía Láctea, hemos encontrado a la forma de espiral y en consecuencia al movimiento que a través de esta curva mecánica se desarrolla, el movimiento espiral.
Observamos que nuestro universo se encuentra magistralmente ordenado y complejamente estructurado y el mismo cumple con esenciales leyes naturales, de estas características hemos aprendido ya que con cada modelo matemático tratamos de sistematizar, generalizar o universalizar un principio o un planteamiento teórico extraído generalmente por la espectacular ciencia física de nuestro entorno para luego esparcir cualquier tipo de conocimiento hacia el resto de las demás ciencias y en consecuencia hacia toda la humanidad.
Entre las características más resaltantes de la espiral de Arquímedes tenemos la del radio el cual varía según sea la proporción del ángulo girado y la distancia entre sus espiras es uniforme o constante, en cuanto a la espiral logarítmica tenemos que la misma la podemos formular a través de coordenadas polares mediante un logaritmo por eso su denominación logarítmica, la diferencia de anchura entre sus espiras incrementa con mayor rapidez que la implementada por la rotación esto hace que sea una curva que se abre con mucha rapidez, en donde sus ángulos se incrementan en cantidad numérica o progresión aritmética mientras que sus radios lo realizan en progresión geométrica al expandirse la figura de la espiral.
Según el lugar geométrico de la espiral de Arquímides, en donde un determinado punto de una recta se mueve a través de esta a velocidad constante y dicha recta se mueve o gira a velocidad angular constante sobre un punto de procedencia u origen fijo, en donde tal recta debe mantenerse siempre en el mismo plano, por lo tanto utilizando coordenadas polares la espiral de Arquímedes podemos representarla con la siguiente ecuación o formulación algebraica:
Con 1 y 2 logramos generar estas impresionantes curvas espirales, la logarítmica su esencial referencia es ser exponencial debido a que mientras gira alrededor de su origen se aleja de este de manera cada vez con mayor rapidez y es esta su diferencia con la espiral de arquímedes o uniforme, ahora conoceremos otras formulaciones como para la espiral de Cornu o clotoide y ecuaciones como la de la velocidad angular por la relación que guarda la clotoide con trayectorias realizadas para las autopistas y vías ferroviarias, por tanto tenemos lo siguiente:
Los modelos matemáticos han incrementado nuestras posibilidades de entendimiento sobre el universo y con ellos seguimos dando nuestros agigantados pasos de evolución en todos los ámbitos de nuestras vidas.
La geometría analítica junto a la cinemática se han convertido en el más fecundo nexo de nuestro campo científico, la primera con su aspecto analítico fundamentado en el abstracto lenguaje del álgebra y la conformación de las distintas forma y figuras que utiliza la cinemática como complemento esencial sobre el estudio del movimiento, esto ha sido nuestro objetivo central poder relacionar lugares geométricos de importantes curvas con alguna forma de movilidad, en esta oportunidad tenemos a la curva espiral la cual impresionó a grandes personajes de nuestra historia científica, y la misma consigue su consolidación inicial con el gran Arquímedes de Siracusa teniendo como motivación adicional la resolución de dos problemas históricos como la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
Pero en la prestigiosa lista de personajes interesados por esta curva encontramos también al excelente matemático y filósofo Francés René Descartes considerado además el padre de la geometría analítica o algebraica iniciando los estudios acerca de la espiral logarítmica, curva estudiada y profundizada tanto por el matemático y físico Italiano Evangelista Torricelli como por el también matemático Suizo Jacques Bernoulli este último logró aflorar increíbles propiedades de dicha curva, por tal razón la denominó “Spira mirabilis”, es decir, espiral maravillosa y tantos los hechos como la historia le han dado la razón.
La espiral logarítmica o de crecimiento es la que más encontramos a nuestro alrededor y la misma va aumentando su longitud con respecto al centro muy rápida o exponencialmente con su ángulo de giro, esto hace que las distancias entre sus espiras no sean uniformes. Estas curvas se encuentran entre nosotros, bien sea su forma como su movimiento, las conchas de caracoles, la lengua de los camaleones, la manera de recoger una cinta métrica, una cuerda, cable, papel, el movimiento llevado a cabo por la aguja de un viejo tocadiscos en donde la misma transita por el lugar geométrico de una trayectoria espiral uniforme o de Arquímedes, al transitar una escalera cuya forma es una espiral, pero si no es suficiente y nos introducimos en el campo de la astrofísica nos conseguiríamos con muchos fenómenos climáticos o astronómicos que siguen este patrón tal es el caso de los huracanes y si vamos hasta nuestras galaxia también las encontraríamos de forma de espiral en movimiento.
Podríamos expresar que al observar una espiral estamos viendo a una fuerza de torsión aplicada a innumerables fenómenos desarrollados alrededor de nosotros y los cuales se dejan llevar por el magistral y encantador movimiento espiral y somos testigos de ello al ver un fenómeno meteorológico como el huracán o el efecto de torsión que vemos en la columna de agua que sale al quitar el tapón de cualquier recipiente lleno de agua o de cualquier otro líquido.
Todos nos hemos maravillado alguna vez con el movimiento de esta curva, bien sea por transitar por ella u observar cualquier objeto que la recorre, o ser testigos del gran talento tanto de nuestra madre naturaleza como de cualquier ser vivo de este planeta al diseñar en nuestro entorno innumerables formas y figuras semejantes a esta curva, esta histórica figura a demás de ser nuestra primera curva mecánica es también considerada la curva de la vida por su relación con las cadenas de nuestro ADN.
Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras tres grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io y #curie, por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la valiosa labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.
Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point, GeoGebra, y el gif animado al principio de la publicación fue elaborado con la aplicación de PhotoScape, y la imagen de dominio público utilizada como figura 4 y parte del gif inicial fue extraída de pixabay.com cuya fuente es la siguiente, [Fuente](https://pixabay.com/es/photos/hurac%C3%A1n-catrina-923808/).
[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.
[2] Jennings, G.A. Geometría moderna con aplicaciones. Springer, New York, 1994.
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[6] Boyer, C. Historia de la Matemáticas, Alianza, Madrid (1986).
[7] Arriagada Sandoval Camila. Modelos Matemáticos. Universidad del BÍO-BÍO. Chillan, 2015.
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[9] Lafuente J. Geometría diferencial de curvas en el plano. Enero de 1998.
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