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Vgl. Wikipedia (Gödelscher Unvollständigkeitssatz):
Erster Satz:

„Jedes hinreichend mächtige, rekursiv aufzählbare formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.“

Zweiter Satz

„Jedes hinreichend mächtige konsistente formale System kann die eigene Konsistenz nicht beweisen.“

...

Oder was meinst du sonst?
Gib' mal ein Beispiel - mir fällt gerade keins ein.

Man kann beispielsweise beweisen, dass jeder Vektorraum mindestens eine Basis hat.

Damit ist gleichzeitig gezeigt, dass es keinen Vektorraum geben kann, der keine Basis hat.

Dadurch implizierst du aber nur, dass es keinen ohne Basis gibt.
Zeigen kannst du allerdings nur die mit Basis.

Ja und? Die Implikation ist ein Beweis.

Demnach existiert auch keinerlei Gott und das ist einwandfrei bewiesen durch die Implikation.

Was? Nein. Wie kommst du denn jetzt auf Gott? Was für eine Implikation? Warum sollte aus der Basisexistenz für Vektorräume folgen, dass Gott nicht existiert? Aus der Existenz für Basen folgt, dass es keine Vektorräume ohne Basis geben kann - also ein Negativum.

Es gibt doch überhaupt keinen formalen Rahmen, um Beweise bezüglich Gott zu machen. Deswegen kann man nicht die nicht-Existenz Gottes beweisen. Das bedeutet aber nicht, dass es i.A. unmöglich sei ein Negativum zu beweisen (siehe Vektorräume).